Pembahasan soal Matematika IPS Ujian Nasional tahun 2015 nomor 6 sampai dengan nomor 10 tentang:
- logaritma,
- persamaan fungsi kuadrat,
- grafik fungsi kuadrat,
- fungsi komposisi, dan
- invers fungsi.
Soal No. 6 tentang Logaritma
Jika 8log 5 = p maka 16log 10 = ....
A. 3p
B. p3
C. 4(3p + 1)
D. ¼ (3p + 1)
E. ¼ (p + 3)
Pembahasan
Untuk menyelesaikan soal ini, bilangan-bilangan pada data yang diketahui harus diubah ke bentuk yang paling sederhana terlebih dahulu.
8log 5 = p
23log 5 = p
⅓ 2log 5 = p
2log 5 = 3p
Selanjutnya bilangan pada pertanyaan diubah ke bentuk yang mengandung angka 2 dan 5.
16log 10 = 24log 2×5
= ¼ 2log 2×5
= ¼ (2log 2 + 2log 5)
= ¼ (1 + 3p)
Jadi, nilai dari 16log 10 adalah ¼ (3p + 1) (D).
Soal No. 7 tentang Persamaan Fungsi Kuadrat
Persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik (1, −7) dan grafiknya melalui titik (0, −6) adalah ....
A. y = x2 − 2x − 6
B. y = x2 + 2x − 6
C. y = x2 + x − 6
D. y = x2 − x + 6
E. y = x2 + x + 6
Pembahasan
Titik balik, titik belok, titik puncak, titik maksimum/minimum, titik stasioner, titik ekstrem adalah orang yang sama, maksudnya nama lainnya.
Persamaan kuadrat yang melalui titik puncak (p, q) dirumuskan
y = a(x − p)2 + q
Mari kita gunakan rumus tersebut. Pada soal diketahui titik balik (1, −7), berarti p = 1 dan q = −7.
y = a(x − p)2 + q
= a(x − 1)2 − 7 .... (1)
Untuk mendapatkan nilai a, kita substitusikan titik yang dilaluinya, yaitu (0, −6), ke persamaan (1).
(0, −6) → y = a(x − 1)2 − 7
−6 = a(0 − 1)2 − 7
−6 = a − 7
a = 1
Nah, sekarang tinggal substitusi a = 1 ke persamaan (1)
a = 1 → y = a(x − 1)2 − 7
= 1(x − 1)2 − 7
= x2 − 2x + 1 − 7
= x2 − 2x − 6
Jadi, persamaan fungsi kuadrat tersebut adalah y = x2 − 2x − 6 (A).
Soal No. 8 tentang Grafik Fungsi Kuadrat
Grafik fungsi kuadrat y = −x2 + 8x − 15 adalah ....
Pembahasan
Kita dapatkan dulu koefisien dari fungsi kuadrat y = −x2 + 8x − 15.
a = −1
b = 8
c = −15
Karena nilai a negatif maka grafiknya terbuka ke bawah. Opsi jawaban yang mungkin adalah A, C, dan E. Untuk memastikan, kita uji dengan pembuat nol.
y = 0
−x2 + 8x − 15 = 0
x2 − 8x + 15 = 0
(x − 3)(x − 5) = 0
x = 3 atau x = 5
Dengan demikian, grafik tersebut memotong sumbu x di (3, 0) dan (5, 0). Jawabannya sudah pasti opsi A.
Namun agar pembahasannya lebih panjang, mari kita cari unsur-unsur yang lain.
Sumbu simetri
x = −b/2a
= −8/2(−1)
= 4
Sumbu simetri juga merupakan nilai tengah dari pembuat nol.
x = ½ (3 + 5)
= ½ . 8
= 4
Nilai balik diperoleh dengan memasukkan nilai sumbu simetri ke fungsi kuadrat
x = 4 → y = −x2 + 8x − 15
= −42 + 8.4 − 15
= −16 + 32 − 15
= 1
Dengan adanya sumbu simetri dan nilai balik, sekarang kita tahu bahwa grafik fungsi kuadrat tersebut mempunyai titik puncak (4, 1).
Nah, panjang kan?
Jadi, grafik fungsi kuadrat tersebut ditunjukkan oleh opsi (A).
Soal No. 9 tentang Fungsi Komposisi
Diketahui fungsi f(x) = 5x − 2 dan g(x) = (2x + 3)/(3x − 5) untuk x ≠ 5/3. Nilai fungsi komposisi (f o g)(2) adalah ....
A. 7
B. 9
C. 15
D. 33
E. 35
Pembahasan
Kita tentukan g(2) dulu.
g(x) = (2x + 3)/(3x − 5)
g(2) = (2.2 + 3)/(3.2 − 5)
= 7/1
= 7
Sekarang perhatikan, apa yang dimaksud dengan (f o g)(2).
(f o g)(2) = f[g(2)]
= f(7) g(2) = 7
= 5.7 − 2 f(x) = 5x − 2
= 35 − 2
= 33
Jadi, nilai fungsi komposisi tersebut adalah 33 (D).
Soal No. 10 tentang Fungsi Invers
Pembahasan
Kita gunakan rumus berikut ini untuk menyelesaikan soal di atas.
Sementara itu, dari soal di atas kita peroleh
a = 1
b = 1
c = 2
d = −4
Berpedoman pada rumus di atas, diperoleh
Jadi, invers dari fungsi f adalah opsi (A).
Simak Pembahasan Soal Matematika IPS UN 2015 selengkapnya.
Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf di sini.
Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.
