Pembahasan soal-soal Ujian Nasional SMA-IPA bidang studi Matematika dengan materi pembahasan Persamaan Kuadrat yang meliputi:
- sifat akar persamaan kuadrat,
- jenis akar persamaan kuadrat, dan
- persamaan kuadrat baru.
Soal Persamaan Kuadrat UN 2011
Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + mx + 16 = 0 adalah α dan β. Jika α = 2β dan α, β positif maka nilai m adalah ….
A. −12
B. −6
C. 6
D. 8
E. 12
Pembahasan
Dari persamaan kuadrat 2x2 + mx + 16 = 0 diperoleh:
a = 2
b = m
c = 16
Perkalian akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah:
α.β = c/a
Susbstitusi α = 2β diperoleh:
2β.β = 16/2
2β2 = 8
β2 = 4
β = ±2
Karena disebutkan bahwa α dan β bernilai positif maka
β = 2
Sementara itu, penjumlahan akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah:
α + β = −b/a
2β + β = −m/2
3β = −m/2
Substitusi β = 2 diperoleh:
3 × 2 = −m/2
6 = −m/2
m = −12
Jadi, nilai m adalah −12 (A).
Soal Persamaan Kuadrat UN 2013
Akar-akar persamaan x2 + (a − 1)x + 2 = 0 adalah α dan β. Jika α = 2β dan a > 0 maka nilai a = ….
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
E. 8
Pembahasan
Koefisien persamaan x2 + (a − 1)x + 2 = 0 adalah:
a = 1
b = a − 1
c = 2
Perkalian akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah:
αβ = c/a
= 2
Diketahui pada soal bahwa α = 2β. Substitusi α = 2β diperoleh:
2ββ = 2
β2 = 1
β = ±1
Sedangkan penjumlahan akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah:
α + β = −b/a
2β + β = −(a − 1)/1
3β = −a + 1
a = 1 − 3β
Sekarang kita substitusikan β = ±1 untuk mendapatkan nilai a.
β = +1 → a = 1 − 3×1
= 1 − 3
= −2
β = −1 → a = 1 − 3×(−1)
= 1 + 3
= 4
Karena yang diminta a > 0 maka nilai a yang memenuhi adalah 4.
Jadi, nilai a pada persamaan kuadrat tersebut adalah 4 (C).
Soal Persamaan Kuadrat UN 2012
Persamaan kuadrat x2 + 4px + 4 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Jika x1x22 + x12 x2 = 32 maka nilai p adalah ….
A. −4
B. −2
C. 2
D. 4
E. 8
Pembahasan
Nilai koefisien persamaan kuadrat x2 + 4px + 4 = 0 adalah:
a = 1
b = 4p
c = 4
Penjumlahan dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah:
x1 + x2 = −b/a
= −4p
x1 . x2 = c/a
= 4
Nah, sekarang kita masuk ke pertanyaan.
x1x22 + x12 x2 = 32
x1x2 (x1 + x2) = 32
4 . (−4p) = 32
−16p = 32
p = −2
Jadi, nilai p adalah −2 (B).
Soal Persamaan Kuadrat UN 2015
Persamaan kuadrat x2 + 7x + 1 = 0 akar-akarnya α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (α + 4) dan (β + 4) adalah ….
A. x2 + 7x − 43 = 0
B. x2 + 7x − 11 = 0
C. x2 − x + 23 = 0
D. x2 − x + 13 = 0
E. x2 − x − 11 = 0
Pembahasan
Cara 1
Nilai koefisien persamaan kuadrat x2 + 7x + 1 = 0 adalah:
a = 1
b = 7
c = 1
Penjumlahan dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah:
α + β = −b/a
= −7
α . β = c/a
= 1
Jika persamaan kuadrat baru tersebut dinyatakan
x2 − px + q = 0
maka
p = (α + 4) + (β + 4)
= α + β + 8
= −7 + 8
= 1
q = (α + 4)(β + 4)
= αβ + 4α + 4β + 16
= αβ + 4(α + β) + 16
= 1 + 4(−7) + 16
= −11
Dengan demikian, persamaan kuadrat baru tersebut adalah
x2 − px + q = 0
x2 − x − 11 = 0
Cara 2
Karena akar-akar persamaan kuadrat baru merupakan akar-akar persamaan kuadrat lama yang dijumlahkan dengan bilangan yang sama, yaitu (α + 4) dan (β + 4), maka persamaan kuadrat baru tersebut dapat ditentukan secara sederhana sebagai berikut:
Misal x = α + 4
maka α = x − 4
Persamaan kuadrat lama : x2 + 7x + 1 = 0
Persamaan kuadrat baru : α2 + 7α + 1 = 0
Substitusi α = x − 4 pada persamaan kuadrat baru:
α2 + 7α + 1 = 0
(x − 4)2 + 7(x − 4) + 1 = 0
x2 − 8x + 16 + 7x − 28 + 1 = 0
x2 − x − 11 = 0
Jadi, persamaan kuadrat baru yang dimaksud adalah opsi (E).
Soal Persamaan Kuadrat UN 2014
Persamaan kuadrat x2 − (k − 1)x + 4 = 0 tidak mempunyai akar real. Batas-batas nilai k yang memenuhi adalah ….
A. −5 < k < 3
B. −3 < k < 5
C. k < −3 atau k > 5
D. k ≤ −3 atau k ≥ 5
E. k ≤ −5 atau k ≥ 3
Pembahasan
Nilai koefisien persamaan kuadrat x2 − (k − 1)x + 4 = 0 adalah:
a = 1
b = −(k − 1)
= −k + 1
c = 4
Tidak mempunyai akar real berarti akar-akarnya imajiner. Syarat persamaan kuadrat yang berakar imajiner adalah:
D < 0
b2 − 4ac < 0
(−k + 1)2 − 4.1.4 < 0
k2 − 2k + 1 − 16 < 0
k2 − 2k − 15 < 0
(k + 3)(k − 5) < 0
Karena tanda pertidaksamaannya '<' maka nilai k berada di antara −3 dan 5.
∴ −3 < k < 5
Jadi, batas-batas nila k yang memenuhi adalah −3 < k < 5 (B).
Pembahasan soal Persamaan Kuadrat yang lain bisa disimak di:
Pembahasan Matematika IPA UN 2013 No. 5
Pembahasan Matematika IPA UN 2013 No. 7
Pembahasan Matematika IPA UN 2014 No. 6 dan 7
Pembahasan Matematika IPA UN 2015 No. 6 dan 7
Pembahasan Matematika IPA UN 2016 No. 5
Pembahasan Matematika IPA UN 2017 No. 8, 9, dan 10
Pembahasan Matematika IPA UN 2018 No. 5
Pembahasan Matematika IPA UN 2018 No. 37 [isian]
Simak juga:
Pembahasan Matematika IPA UN: Fungsi Kuadrat
Pembahasan Matematika IPA UN: Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear.
Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf di sini.
Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.
