Pembahasan Matematika IPA UN: Komposisi dan Invers Fungsi

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional SMA-IPA bidang studi Matematika dengan materi pembahasan Komposisi dan Invers Fungsi.

Soal tentang Komposisi dan Invers Fungsi UN 2012

Diketahui fungsi f(x) = 2x − 3 dan g(x) = x² + 2x − 3. Komposisi fungsi (g ∘ f)(x) = ....

A. 2x² + 4x − 9
B. 2x² + 4x − 3
C. 4x² + 6x − 18
D. 4x² + 8x
E. 4x² − 8x

Pembahasan

Komposisi fungsi (g ∘ f)(x) artinya fungsi f(x) tersarang dalam fungsi g(x) sehingga yang menjadi patokan adalah fungsi g(x).

        g(x) = x² + 2x − 3
(g ∘ f)(x) = f²(x) + 2f(x) − 3
               = (2x − 3)² + 2(2x − 3) − 3
               = 4x² − 12x + 9 + 4x − 6 − 3
               = 4x² − 8x

Jadi, komposisi fungsi tersebut adalah opsi (E).

Soal tentang Komposisi dan Invers Fungsi UN 2011

Pembahasan

Dengan berpedoman pada fungsi f(x) soal di atas dapat diselesaikan sebagai berikut:

         f(x) = 2x + 5
(f ∘ g)(x) = 2g(x) + 5
               $=2left ( frac{x-1}{x+4} right )+5$
             $=frac{2x-2}{x+4}+frac{5x+20}{x+4}$
               $=frac{7x+18}{x+4}$

Jadi, nilai dari komposisi fungsi tersebut adalah opsi (D).

Soal tentang Komposisi dan Invers Fungsi UN 2013

Pembahasan

Invers fungsi bentuk tersebut dapat diselesaikan dengan rumus

$Rumus invers fungsi bentuk ax+b/cx+d$

Nilai a, b, c, dan d pada soal adalah

a = 1
b = 1
c = 2
d = −3

Nilai invers fungsi g(x) adalah

$g^{-1}(x)=frac{{color{DarkRed} -d}x+b}{cx{color{DarkRed} -a}},xneq frac{a}{c}$
$=frac{3x+1}{2x-1},xneq frac{1}{2}$

Jadi, invers fungsi g adalah opsi (B).

Soal tentang Komposisi dan Invers Fungsi UN 2010

Diketahui

$f(x)=frac{9x+4}{6x-5},xneq frac{5}{6}$

dan fungsi invers f(x) adalah f⁻¹(x). Nilai f⁻¹(−2) = ....

A.   14/3
B.   17/14
C.   6/21
D.   −17/14
E. −14/3

Pembahasan

Dengan menggunakan rumus invers fungsi pada soal sebelumnya, diperoleh

$f^{-1}(x)=frac{5x+4}{6x-9},xneq frac{3}{2}$
$f^{-1}(-2)=frac{-10+4}{-12-9}$
= 6/21

Jadi, nilai untuk f⁻¹(−2) adalah 6/21 (C).

Soal tentang Komposisi dan Invers Fungsi UN 2014

Pembahasan

Kita tentukan (f ∘ g)(x) terlebih dahulu

        f(x) = 2x − 1
(f ∘ g)(x) = 2g(x) − 1
               $=2left ( frac{x+3}{2-x} right )-1$
               $=frac{2x+6}{2-x}-frac{2-x}{2-x}$
               $=frac{3x+4}{-x+2}$