Pembahasan soal Ujian Nasional (UN) tahun 2019 bidang studi Matematika SMA-IPA nomor 16 sampai dengan nomor 20 paket 2 tentang:
- limit fungsi,
- aplikasi turunan [gradien garis singgung],
- aplikasi turunan [nilai maksimum], dan
- integral fungsi aljabar.
Soal No. 16 tentang Limit Fungsi
Limit dari
adalah ….
| A. | −5/2 |
| B. | −1/2 |
| C. | 1/2 |
| D. | 3/2 |
| E. | 5/2 |
Pembahasan
Limit di atas bisa kita bawa ke bentuk seperti ini:
Mari kita selesaikan! Ini kelihatannya rumit. Padahal sebenarnya cuma perkalian suku seperti:
Jadi, nilai dari limit fungsi di atas adalah 5/2 (E).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika UN: Limit Fungsi.
Soal No. 17 tentang Aplikasi Turunan [gradien garis singgung]
Persamaan garis singgung kurva 𝑓(𝑥) = √(8𝑥 − 4) yang tegak lurus garis 2𝑥 + 4𝑦 + 1 = 0 adalah ….
| A. | 2𝑥 − 𝑦 = 0 |
| B. | 2𝑥 − 𝑦 − 3 = 0 |
| C. | 2𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 |
| D. | 2𝑥 − 𝑦 − 4 = 0 |
| E. | 2𝑥 − 𝑦 + 4 = 0 |
Pembahasan
Gradien garis 2𝑥 + 4𝑦 + 1 = 0 adalah:
Sedangkan gradien garis singgung kurva 𝑓(𝑥) = √(8𝑥 − 4) adalah turunan kurva tersebut.
Antara garis singgung kurva dan garis saling tegak lurus sehingga berlaku hubungan:
Kita sudah mendapatkan gradien garis singgung kurva 𝑚2. Sekarang kita lanjutkan untuk mencari titik singgung kurva tersebut.
𝑥 = 1 ini adalah absis titik singgung. Mari kita cari ordinat titik singgungnya dengan melakukan substitusi ke kurva 𝑓𝑥!
Sehingga titik singgung kurva tersebut adalah (1, 2).
Persamaan garis singgung kurva dirumuskan:
Jadi, persamaan garis singgung kurva tersebut adalah opsi (A).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika UN: Aplikasi Turunan.
Soal No. 18 tentang Aplikasi Turunan [gradien garis singgung]
Persamaan garis yang melalui A(2, −4) dan tegak lurus dengan garis singgung kurva 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 3𝑥 − 6 di titik tersebut adalah ….
| A. | 5𝑥 − 𝑦 − 14 = 0 |
| B. | 5𝑥 + 𝑦 − 6 = 0 |
| C. | 𝑥 + 5𝑦 − 27 = 0 |
| D. | 𝑥 + 5𝑦 + 18 = 0 |
| E. | 𝑥 − 5𝑦 − 22 = 0 |
Pembahasan
Gradien garis singgung kurva 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 3𝑥 − 6 adalah:
| 𝑚1 | = | 𝑓′(𝑥) |
| = | 4𝑥 − 3 |
Substitusi absis 𝑥 = 2 diperoleh:
Karena garis dan garis singgung kurva saling tegak lurus maka:
| 𝑚1 ∙ 𝑚2 | = | −1 |
| 𝑚2 | = | −1/𝑚1 |
| = | −1/5 |
Dengan demikian, persamaan garis tersebut adalah:
| 𝑦 − 𝑦1 | = | 𝑚2(𝑥 − 𝑥1) |
| 𝑦 + 4 | = | −1/5(𝑥 − 2) |
| 5𝑦 + 20 | = | −𝑥 + 2 [dikalikan 5] |
| 𝑥 + 5𝑦 + 18 | = | 0 |
Jadi, persamaan garis tersebut adalah opsi (D).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika UN: Aplikasi Turunan.
Soal No. 19 tentang Aplikasi Turunan (Nilai Maksimum)
Dari selembar karton berbentuk persegi yang berukuran sisi 30 cm akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara menggunting empat persegi di setiap pojok karton seperti pada gambar.
Volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah ….
| A. | 2.000 cm3 |
| B. | 3.000 cm3 |
| C. | 4.000 cm3 |
| D. | 5.000 cm3 |
| E. | 6.000 cm3 |
Pembahasan
Perhatikan gambar berikut ini!
Berdasarkan gambar, volume kotak tersebut adalah:
| V | = | s2 t |
| = | (30 − 2x)2 ∙ x | |
| = | (900 − 120x + 4x2)x | |
| = | 900x − 120x2 + 4x3 |
Volume kotak tersebut akan maksimum jika turunan pertama dari fungsi V sama dengan nol.
| V' | = | 0 |
| 900 − 240x + 12x2 | = | 0 |
| x − 20x + 75 | = | 0 [dibagi 12] |
| (x − 5)(x − 15) | = | 0 |
x = 5 atau x = 15 (tidak mungkin)
Untuk x = 15 cm tidak mungkin terjadi karena akan menghasilkan sisi kotak sama dengan nol (s = 30 − 2x).
Dengan demikian, volume kotak akan maksimum jika x = 5 cm. Sehingga,
| V | = | (30 − 2x)2 ∙ x |
| = | (30 − 2 ∙ 5)2 ∙ 5 cm3 | |
| = | 400 ∙ 5 cm3 | |
| = | 2000 cm3 |
Jadi, volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah 2.000 cm3 (A).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika UN: Aplikasi Turunan.
Soal No. 20 tentang Integral Fungsi Aljabar
∫(3x2 − 5x + 4) dx = ….
| A. | x3 − 5/2 x2 + 4x + C |
| B. | x3 − 5x2 + 4x + C |
| C. | 3x3 − 5x2 + 4x + C |
| D. | 6x3 − 5x2 + 4x + C |
| E. | 6x3 − 5/2 x2 + 4x + C |
Pembahasan
Ini termasuk soal penggembira, soal integral yang paling dasar. Tapi ingat, harus tetap cermat dan hati-hati. Ok, kita selesaikan sekarang.
Jadi, hasil dari integral di atas adalah opsi (A).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika UN: Integral Fungsi Aljabar.
Simak Pembahasan Soal Matematika IPA UN 2019 Paket 2 selengkapnya.
Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf di sini.
Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.
