Pembahasan Matematika IPA UN 2015 No. 6

Pembahasan soal Matematika IPA Ujian Nasional 2015 nomor 6 sampai dengan nomor 10 tentang:

• persamaan kuadrat baru,


• jenis akar persamaan kuadrat,


• persamaan linear,


• persamaan lingkaran, dan


• garis singgung lingkaran.

Soal No. 6 tentang Akar Persamaan Kuadrat Baru

Persamaan kuadrat x² + 6x − 5 = 0 akar-akarnya α dan β. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya (α + 2) dan (β +2) adalah ....

A.   x² + 2x − 13 = 0
B.   x² + 2x + 13 = 0
C.   x² − 2x − 13 = 0
D.   x² + 2x − 21 = 0
E.   x² − 2x − 21 = 0

Pembahasan

Cara 1

Persamaan kuadrat x² + 6x − 5 = 0 akar-akarnya α dan β, diperoleh

α + β = −b/a = −6
α . β = c/a = −5

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (α + 2) dan (β +2) adalah 

x² − px + q = 0

dengan p = (α + 2) + (β +2)  dan q = (α + 2) . (β +2)

Mari kita tentukan nilai p dan q. 

p = (α + 2) + (β +2)
   = (α + β) + 4
   = −6 + 4
   = −2 

q = (α + 2) . (β +2)
   = αβ + 2α + 2β + 4
   = αβ + 2(α + β) + 4
   = −5 + 2.(−6) + 4
   = −13

Dengan demikian persamaan kuadra baru tersebut adalah 

x² − px + q = 0 
x² + 2x − 13 = 0

Cara 2 

Akar-akar persamaan kuadrat lama: α dan β
Akar-akar persamaan kuadrat baru : (α + 2) dan (β + 2)

Misal    x = α + 2
maka    α = x − 2

Persamaan kuadrat lama: x² + 6x − 5 = 0
Persamaan kuadrat baru : α² + 6α − 5 = 0

Substitusi α = x − 2 pada persamaan kuadrat baru:

α² + 6α − 5 = 0
(x − 2)² + 6(x − 2) − 5 = 0 
x² − 4x + 4 + 6x − 12 − 5 = 0 
x² + 2x − 13 = 0

Jadi, persamaan kuadrat baru dari persamaan kuadrat tersebut adalah x² + 2x − 13 = 0 (A).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Persamaan dan Fungsi Kuadrat.

Soal No. 7 tentang Jenis Akar Persamaan Kuadrat

Pembahasan

Dari persamaan kuadrat (m − 5)x² − 4mx + m − 2 = 0 diperoleh data: 

a = m − 5, 
b = −4m, 
c = m − 2.

Syarat agar persamaan kuadrat tersebut mempunyai akar real adalah  

D ≥ 0 
b² − 4ac ≥ 0
(−4m)² − 4(m − 5)(m − 2) ≥ 0
16m² − 4(m² − 7m + 10) ≥ 0
12m² + 28m − 40) ≥ 0
3m² + 7m − 10) ≥ 0
(3m + 10) (m − 1) ≥ 0

Sekarang tinggal membuat garis bilangannya.

Berdasarkan garis bilangan pertidaksamaan tersebut diperoleh 

m ≥ 1 atau m ≤ −10/3

Jadi, batas-batas nilai m agar persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar real adalah opsi (C).

Soal No. 8 tentang Persamaan Linear

Pembahasan

Kita misalkan terlebih dahulu. 

x : jeruk 
y : mangga 
z : jambu

Selanjutnya kita buat persamaan matematikanya.

Malik      : 2x + 1½y + z  = 72.000  ... (1)
Aziz        : 3x + ½y + ½z  = 61.000 ... (2)
Sulasmini : x + 2y + 2z = 79.000      ... (3)
Ani          : ½x + 1½y + z = ?

Perhatikan persamaan (2) dan (3). Koefisien y dan z pada kedua persamaan tersebut mempunyai perbandingan yang sama. Jadi dengan mengeliminasi kedua persamaan tersebut, dua variabel akan langsung tereliminasi.

Mari kita eliminasi. Persamaan (2) kita kalikan 4 sedangkan persamaan (3) kita biarkan apa adanya.

12x + 2y + 2z = 244.000 
    x + 2y + 2z =   79.000
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯  −
                11x = 165.000 
                    x =   15.000

Sekarang perhatikan persamaan matematika dari Malik dan Ani. Kedua persamaan tersebut mempunyai koefisien y dan z yang sama bukan? Berarti kita cukup melakukan substitusi x = 15.000 ke persamaan (1).

2 × 15.000 + 1½y + z = 72.000
                      1½y + z = 42.000

Sekarang kita sudah dapat menentukan harga yang harus dibayar oleh Ani.

   ½x + 1½y + z
= ½ × 15.000 + 42.000
= 7.500 + 42.000
= 49.500

Jadi, Ani harus membayar buah-buahan yang dibelinya sebesar Rp49.500,00 (A).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika UN: Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear.

Soal No. 9 tentang Persamaan Lingkaran

Pembahasan

Perhatikan gambar di bawah ini!

Jarak tegak lurus titik pusat ke garis tersebut merupakan jari-jari lingkaran. Rumus jarak titik ke garis adalah

  

Persamaan lingkaran tersebut adalah

(x − x₁)²  + (y − y₁)²  = r²
(x + 1)²  + (y − 2)²  = (4√2)² 
x²  + 2x + 1 + y² − 4y + 4 = 32 
x²  + y² + 2x − 4y − 27 = 0

Jadi, persamaan lingkaran tersebut adalah opsi (B).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Lingkaran.

Soal No. 10 tentang Garis Singgung Lingkaran

Pembahasan

Persamaan lingkaran x² + y² + 2x − 6y − 10 = 0 mempunyai bentuk umum 

x² + y² + 2Ax + 2By + C = 0

Berdasarkan bentuk umum tersebut diperoleh

2A = 2
  A = 1

2B = −6
  B = −3

C = −10

Pusat dan jari-jari lingkaran tersebut adalah

pusat (−A, −B)
pusat (−1, 3)   → (h, k)

  

Misal gradien garis x + 2y + 1 = 0 adalah m₁, maka 

m₁ = −a/b
      = −1/2

Garis singgung lingkaran tegak lurus dengan garis tersebut sehingga perkalian gradien garis (m₁) dengan gradien garis singgung lingkaran (m₂) sama dengan −1. 

m₁  . m₂ = −1
−½ . m₂ = −1 
         m₂ = 2

Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat (h, k), jari-jari r, dan gradien m₂ adalah

 
y − 3 = 2x + 2 ± 10 
      y = 2x + 5 ± 10 
y = 2x + 15   dan   y = 2x − 5

Jadi, salah satu persamaan garis singgung lingkaran tersebut adalah y = 2x + 15 (E).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Lingkaran.

Simak Pembahasan Soal Matematika IPA UN 2015 selengkapnya.

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.