Pembahasan soal Matematika IPA Ujian Nasional 2015 nomor 11 sampai dengan nomor 15 tentang:
- suku banyak (teorema sisa),
- suku banyak (teorema faktor),
- fungsi komposisi,
- program linear, dan
- matriks.
Soal No. 11 tentang Suku Banyak (Teorema Sisa)
Suku banyak f(x) = 2x3 + ax2 + bx − 5 dibagi oleh x2 − x − 2 bersisa 3x + 2. Nilai a + b adalah ....
A. 6
B. 3
C. −3
D. −6
E. −12
Pembahasan
Faktor dari pembagi suku banyak tersebut adalah
x2 − x − 2 = (x − 2) (x + 1)
Jika suku banyak f(x) dibagi oleh (x − 2) (x + 1) bersisa 3x + 2 maka untuk x = 2 dan x = −1 nilai suku banyak tersebut adalah f(x) = 3x + 2.
f(x) = 3x + 2
f(2) = 3.2 + 2
= 8
f(−1) = 3.(−1) + 2
= −1
Nah, sekarang tinggal menerapkan f(2) = 8 dan f(−1) = −1 pada suku banyak tersebut.
f(x) = 2x3 + ax2 + bx − 5
f(2) = 8
2.23 + a.22 + b.2 − 5 = 8
16 + 4a + 2b − 5 = 8
4a + 2b = −3 ..... (1)
f(−1) = −1
2.(−1)3 + a.(−1)2 + b.(−1) − 5 = −1
−2 + a − b − 5 = −1
a − b = 6 ..... (2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2) untuk mendapatkan nilai a dan b. Persamaan (2) terlebih dahulu kita kalikan 2.
4a + 2b = −3
2a − 2b = 12
—————— +
6a = 9
a = 9/6
= 3/2
Substitusi a = 3/2 persamaan (2).
a − b = 6
3/2 − b = 6
− b = 6 − 3/2
= 9/2
b = −9/2
Dengan demikian,
a + b = 3/2 − 9/2
= −6/2
= −3
Jadi, nilai dari a + b adalah −3 (C).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Suku Banyak.
Soal No. 12 tentang Suka Banyak (Teorema Faktor)
Salah satu faktor dari suku banyak 2x3 + (2m − 1)x2 − 13x + 6 adalah x − 2. Faktor linear lain dari suku banyak tersebut salah satunya adalah ....
A. x + 2
B. x − 3
C. x + 3
D. 2x + 1
E. 2x − 3
Pembahasan
Soal di atas biasanya diselesaikan dengan pembagian skematik atau cara Horner.
Berdasarkan skema di atas diperoleh
6 + 8m − 14 = 0
8m = 8
m = 1
Kemudian kita substitusikan m = 1 pada hasil bagi (yang berwarna biru).
2 2m + 3 4m − 7
2 5 −3
Ini artinya hasil baginya adalah 2x2 + 5x − 3.
Faktor hasil bagi juga merupakan faktor dari suku banyak.
2x2 + 5x − 3 = (2x − 1)(x + 3)
Jadi, salah satu faktor linear lain dari suku banyak tersebut adalah x + 3 (C).
Soal No. 13 tentang Fungsi Komposisi
Diketahui f(x) = x2 − 4x + 6 dan g(x) = 2x + 3. Fungsi komposisi (f o g)(x) = ....
A. 2x2 − 8x + 12
B. 2x2 − 8x + 15
C. 4x2 + 4x + 3
D. 4x2 + 4x + 15
E. 4x2 + 4x + 27
Pembahasan
(f o g)(x) sering dinotasikan f[g(x)] sehingga yang menjadi acuan adalah f(x).
f(x) = x2 − 4x + 6
f[g(x)] = [g(x)]2 − 4g(x) + 6
Perhatikan persamaan di atas! Dengan berpedoman pada f(x), kita dapat memperoleh f[g(x)] dengan menggantikan x dengan g(x).
Selanjutnya kita substitusikan g(x) = 2x + 3 pada f[g(x)].
f[g(x)] = [g(x)]2 − 4g(x) + 6
= (2x + 3)2 − 4(2x + 3) + 6
= 4x2 + 12x + 9 − 8x − 12 + 6
= 4x2 + 4x + 3
Jadi, fungsi komposisi tersebut adalah (f o g)(x) = 4x2 + 4x + 3 (C).
Soal No. 14 tentang Program Linear
Seorang pengusaha perumahan memiliki lahan tanah seluas 10.000 m2 yang akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. Untuk membangun rumah tipe A diperlukan tanah seluas 100 m2 dan rumah tipe B seluas 75 m2. Jumlah rumah yang dibangun tidak lebih dari 125 unit. Jika pengusaha tersebut menjual dengan keuntungan rumah tipe A adalah Rp8.000.000,00 dan rumah tipe adalah Rp6.000.000,00 serta semua rumah terjual habis maka keuntungan maksimum yang diperoleh pengusaha tersebut adalah ....
A. Rp750.000.000,00
B. Rp800.000.000,00
C. Rp850.000.000,00
D. Rp900.000.000,00
E. Rp950.000.000,00
Pembahasan
Kita gunakan tabel bantuan untuk soal tersebut.
| Tipe A(x) | Tipe B(y) | 125 | |
| Luas Tanah | 4 | 3 | 400 |
| Keuntungan | 8.000.000 | 6.000.000 | ? |
Berdasarkan tabel tersebut diperoleh persamaan:
x + y = 125 | × 4 | 4x + 4y = 500
4x + 3y = 400 | × 1 | 4x + 3y = 400
—————— −
y = 100
Substitusi x = 25 pada persamaan yang pertama diperoleh:
x + y = 125
25 + y = 125
y = 100
Fungsi objektif atau fungsi sasarannya adalah
z = 8.000.000x + 6.000.000y
= 8.000.000 × 25 + 6.000.000 × 100
= 800.000.000
Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh oleh pengusaha tersebut adalah Rp800.000.000,00 (B).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Program Linear.
Soal No. 15 tentang Matriks
Diketahui matriks
Jika A − B = C maka x + y + z = ....
A. 15
B. 21
C. 22
D. 27
E. 29
Pembahasan
Kita operasikan pengurangan matriks sebagaimana yang diketahui pada soal.
A − B = C
Dari kesamaan matriks di atas diperoleh:
z = 3
x − 14 = −1
x = 13
6 − y = 1
−y = −5
y = 5
Jadi, x + y + z = 13 + 5 + 3 = 21 (B).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Matriks.
Simak Pembahasan Soal Matematika IPA UN 2015 selengkapnya.
Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf di sini.
Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.